【王艳林名师工作室】之云云和你一起读(七)

南山信乙 发表于 2019-01-16 06:55:43 | 打印

走进“数的认识”

——负数

如何认识负数?

在小学阶段甚至在整个义务教育阶段,数学教学中所涉及的数都有明确的现实背景(所涉及的法则也都有着明确的现实背景),负数也不例外。因此,虽然可以通过减法来定义负数,但负数的本质还是对数量的抽象,所代表的意义与正数是完全相反的。

一、负数与对应的自然数在数量上相等,表示的意义相反

人们约定:在自然数的前面加上符号“-”表示负数,并称这个符号为“负号”。比如,在自然数2的前面加上负号就变成了-2。用这样的方法表示负数是非常有道理的,因为负数与对应的自然数在数量上相等,表示的意义相反:一个是盈余,一个是亏损;一个是向西,一个是向东;一个是前进,一个是后退。所以,人们在一个自然数的前面加上符号“+”或者“-”是为了表示这个数量的性质,分别称为“正数”或者“负数”。

二、素数与合数

为了强调正数与负数在数量上相等,也为了更好地表达运算规则,人们发明了绝对值符号:用|a|表示a的数量大小。这样,根据上面所说的道理,当a0时,有|-a|=|a|>0,并且根据现实生活的经验规定:

数量越大(或者说绝对值越大)的正数越大;

数量越大(或者说绝对值越大)的负数越小;

0是正数和负数的分水岭,既不是正数也不是负数。

三、古代中国对负数的提出

现有资料表明,最早提出负数并给出负数加减运算法则的是中国汉朝的数学著作《九章算术》。在这本书的第八章“方程”中,其中的第八题就能够很好地说明古代先哲为什么要引进负数。第八题是这样表示的:

今有卖牛二、羊五,以买十三豕,有余钱一千。卖牛三、豕三,以买九羊,钱适足。卖羊六、豕八,以买五牛,钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何?

答曰:牛价一千二百,羊价五百,豕价三百。

术曰:如方程。置牛二、羊五正,豕一十三负,余钱数正;次置牛三正,羊九负,豕三正;次置牛五负,羊六正,豕八正,不足钱负。以正负术入之。

上面所得“术曰”是讨论解题的方法。要列方程,并且“置”、“次置”、“次置”表示这是一个三元一次方程组;其中特别提示说:如果“卖”所得的钱是“正”的话,那么“买”所付的钱为“负”,如果“余钱”为“正”的话,那么“不足钱”为“负”;最后,用正负数的加减法运算求得方程组的解。

下面,我们用现代符号来表述“术曰”中所说的三元一次方程组。分别用xyz表示牛价、羊价和豕(猪)价的话,那么,“术曰”中所说的三元一次方程组为:

2x+5y+(-13z)=1000

3x+(-9y)+3z=0

(-5x)+6y+8z=-600

把“答曰”所示:x=1200y=500z=300代入上面的方程,方程成立,即“答曰”所示的数确实是方程的解。

    由此可见,至少在汉朝,古代中国的先民就已经在日常生活和生产实践中广泛地使用了负数了,特别难能可贵的是,他们能够清晰地理解负数的意义。

了解古代中国是如何提出负数的,从而加强对负数意义的理解。亲们还可以再看看史宁中教授在案例篇中为大家提供的“如何认识负数”教学设计《买与卖》,以真正体会负数的本质!

            本期编辑:许朝辉  马永超


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